Introducción

Este documento presenta la implementación analítica y computacional de diversos modelos de riesgo operativo. Para todos los casos analizados, el riesgo agregado de la compañía se define mediante el modelo colectivo:

\[ S=\sum_{i=1}^N Y_i \] Donde \(N\) representa la frecuencia de los eventos de riesgo y \(Y_i\) representa la severidad de cada evento individual. A lo largo del documento, se exploran métodos de cálculo exacto (Recursión de Panjer), aproximaciones (Normal con corrección por continuidad) y validaciones empíricas mediante simulaciones de Monte Carlo en R.

Caso 1: Cálculo de Momentos en Modelos Colectivos

Planteamiento: Sea \(S\) la variable aleatoria que mide el riesgo de una compañía bajo un modelo colectivo, donde las funciones generadoras de momentos de la severidad (\(Y_i\)) y de la frecuencia (\(N\)) están dadas por:

\[ M_Y(t)= 0.7+0.3e^{(t)} \hspace{1cm} \& \hspace{1cm} M_N(t)=\exp\left[ 5\left(e^{t}-1\right) \right] \]

1.1 Cálculo de la Esperanza \(\mathbb{E}[S]\)

Primero, analizamos si las funciones generadoras de momentos tienen alguna distribución conocida. Vemos que \(N\) sigue una distribución Poisson de parámetro 5, pues en general se tiene el siguiente resultado: \[ X \sim \text{Poisson}(\lambda) \iff M_X(t) = \exp(\lambda(e^t - 1)) \] Por lo que podemos concluir que \(N \sim \text{Poisson}(5)\).

Del mismo modo, para la variable de la severidad tenemos el siguiente resultado general: \[ X \sim \text{Bernoulli}(p) \iff M_X(t) = 1 - p + pe^t \] De donde identificamos que \(p=0.3\). De este modo: \[ Y \sim \text{Bernoulli}(0.3) \]

Aplicando la propiedad de la esperanza para el modelo colectivo: \[ \mathbb E[S]=\mathbb E[N]\mathbb E[Y] \] Sabemos que la esperanza de una Poisson es su parámetro y la de una Bernoulli es \(p\): \[ \mathbb E[N] = 5 \hspace{1cm} \text{y} \hspace{1cm} \mathbb E[Y] = 0.3 \] Por lo tanto: \[ \mathbb E[S] = 5 \times 0.3 = 1.5 \]

1.2 Cálculo de \(\mathbb{E}[e^S]\)

Identificamos que esto es la definición de la función generadora de momentos de \(S\) evaluada en \(t=1\). En general se tiene: \[ M_S(t) := \mathbb{E}[e^{t \cdot S}] =M_{N}\left(\ln \left(M_{Y}(t)\right)\right) \] Aplicado a nuestro caso: \[ M_S(1) = \mathbb{E}[e^S] =M_{N}\left(\ln \left(M_{Y}(1)\right)\right) \] Sustituyendo las funciones generadoras de momentos por las respectivas de cada distribución: \[ M_S(1) = \exp\left[5\left(e^{\ln[M_Y(1)]} - 1\right)\right] \] Desarrollando esta expresión: \[ M_S(1)=\exp[5(M_Y(1) - 1)] = \exp[5( (0.7 + 0.3e) - 1 )] = \exp[5( 0.3e - 0.3 )] \] Evaluando numéricamente obtenemos: \[ \mathbb{E}[e^S] = M_S(1) \approx 13.1632 \]

Caso 2: Aproximación Normal con Corrección por Continuidad

Planteamiento: A partir del caso anterior, buscamos obtener un valor \(z\) tal que la probabilidad acumulada \(F_S(4)\) se aproxime mediante la distribución normal estándar \(\Phi(z)\).

Notamos que tanto la frecuencia como la severidad son discretas. Para aplicar la aproximación normal de manera robusta, aplicamos una corrección por continuidad expandiendo el intervalo. \[ \mathbb{P}[n\leq S\leq m]\approx \mathbb{P}\left[n-\frac{1}{2}\leq S\leq m+\frac{1}{2}\right] \] En nuestro caso: \[ F_S(4) \approx \mathbb{P}\left[S \le 4 + \frac{1}{2}\right] = \mathbb{P}\left[S \le 4.5\right] \] Procedemos a estandarizar la variable: \[ \mathbb{P}\left[ \frac{S - \mathbb E[S]}{\sqrt{\text{Var}(S)}} \le \frac{4.5 - \mathbb E[S]}{\sqrt{\text{Var}(S)}} \right] \] La varianza se obtiene mediante el siguiente teorema: \[ Var(S)=Var(N)\mathbb{E}^2[Y]+Var(Y)\mathbb{E}[N] \] Sustituyendo los parámetros ya conocidos (\(N \sim \text{Poi}(5)\), \(Y \sim \text{Ber}(0.3)\)): \[ Var(N) = 5 = \mathbb{E}[N] \] \[ \mathbb{E}^2[Y] = (0.3)^2 = 0.09 \] \[ Var(Y)=p(1−p)=0.3(0.7)=0.21 \] Se sigue que: \[ Var(S)= 5(0.09) + 0.21(5) = 1.5 \] Por lo tanto: \[ \mathbb{P}\left[ Z \le \frac{4.5 - 1.5}{\sqrt{1.5}} \right] = \Phi\left(\frac{3}{\sqrt{1.5}}\right) = \Phi(2.44949) \] Concluimos que el valor requerido es \(z = 2.44949\).

Caso 3: Suma de Modelos de Poisson Compuesto

Planteamiento: Sea \(S = S_1 + S_2\), donde \(S_j\) es el riesgo de una compañía que sigue el siguiente modelo compuesto asumiendo independencia: \[ S_j\sim \text{PoiComp}\left(\lambda_j=5j,F_{Y_j}(t)=\left(1-e^{-2jt}\right)\mathbb{I}_{(t\ge0)}^{(t)}\right) \]

Sabemos que si \(S_1\) y \(S_2\) tienen distribución Poisson Compuesta y son independientes, su suma sigue una distribución Poisson Compuesta con parámetro \(\lambda = \lambda_1 + \lambda_2\) y función de distribución de severidad \(F(x) = \sum \frac{\lambda_j}{\lambda}F_j(x)\).

Desarrollando los componentes: \[ S_1\sim \text{PoiComp}\left(\lambda_1=5, F_{Y_1}(t)=\left(1-e^{-2t}\right)\mathbb{I}_{(t\ge0)}^{(t)}\right) \] \[ S_2\sim \text{PoiComp}\left(\lambda_2=10, F_{Y_2}(t)=\left(1-e^{-4t}\right)\mathbb{I}_{(t\ge0)}^{(t)}\right) \]

3.1 Esperanza \(\mathbb{E}[S]\)

Por linealidad y propiedades del modelo compuesto: \[ \mathbb{E}[S] = \lambda_{1} \mathbb{E}[Y_{1}] +\lambda_{2} \mathbb{E}[Y_{2}] \] Reconocemos que las severidades tienen forma de distribución Exponencial (\(X \sim \text{Exp}(\theta) \iff F_X(x) = 1 - e^{-\theta x}\)): * \(Y_1 \sim \text{Exp}(\theta_1 = 2) \implies \mathbb{E}[Y_1] = 1/2 = 0.5\) * \(Y_2 \sim \text{Exp}(\theta_2 = 4) \implies \mathbb{E}[Y_2] = 1/4 = 0.25\)

Sustituyendo: \[ \mathbb{E}[S] = 5(0.5) + 10(0.25) = 5 \]

3.2 Varianza \(Var(S)\)

Bajo el supuesto de independencia, la covarianza es cero: \[ \text{Var}[S] = \lambda_1 \mathbb{E}[Y_1^2] + \lambda_2 \mathbb{E}[Y_2^2] \] Calculamos los segundos momentos (\(\mathbb{E}[Y^2] = \text{Var}(Y) + (\mathbb{E}[Y])^2\)): * Para \(Y_1\): \(\mathbb{E}[Y_1^2] = (1/4) + (1/2)^2 = 1/2\) * Para \(Y_2\): \(\mathbb{E}[Y_2^2] = (1/16) + (1/4)^2 = 1/8\)

Finalmente: \[ \text{Var}[S] = 5(1/2) + 10(1/8) = 3.75 \]

Caso 4: Resolución Exacta (Panjer) vs. Simulación Muestral (Monte Carlo)

Planteamiento: Sea \(S\sim\text{PoiComp}\left(\lambda=3,F_{Y}\right)\) donde \(Y\) tiene soporte discreto: \(\mathbb{P}[Y=1] = 2/3\) y \(\mathbb{P}[Y=2] = 1/3\).

4.1 Enfoque Teórico (Fórmula de Panjer)

La frecuencia distribuye Poisson, familia \((a,b,0)\) con \(a = 0\) y \(b = \lambda = 3\). Evaluamos recursivamente:

Para \(S=0\): \[ g_0 = P(N=0) = e^{-3} \approx 0.049787 \]

Para \(S=1\): \[ g_1 = \left(\frac{3 \cdot 1}{1}\right) P(Y=1) g_{0} = 3 \left(\frac{2}{3}\right) e^{-3} = 2e^{-3} \approx 0.099574 \]

Para \(S=2\): \[ g_2 = \left[\frac{3}{2} P(Y=1) g_{1}\right] + \left[3 P(Y=2) g_0\right] = 3e^{-3} \approx 0.149361 \]

4.2 Implementación Computacional en R

Validamos nuestro marco teórico programando el algoritmo de Panjer y comparándolo contra una simulación de Monte Carlo de \(1,000,000\) de iteraciones utilizando la librería actuar.

# 1. Función Teórica de Panjer
Panjer <- function(r,a,b,p0,f,todo=F){
  g <- 0:r
  names(g) <- 0:r
  names(f) <- 1:(length(f))
  
  for(s in 0:r){
    if(s==0){
      g["0"] = p0
    } else {
      aux = 0
      for(j in 1:(min(s,length(f)))){
        aux = aux + (a+b*j/s)*f[as.character(j)]*g[as.character(s-j)]
      }
      g[as.character(s)] = aux
    }
  }
  if(todo) return(g) else return(g[as.character(r)])
}

# Parámetros del modelo
lambda <- 3
p0 <- exp(-lambda)
f <- c(2/3, 1/3)
names(f) <- 1:2

# Cálculo Teórico
probas_teo <- Panjer(r = 2, a = 0, b = lambda, p0 = p0, f = f, todo = TRUE)
print("Probabilidades Teóricas (Panjer):")
## [1] "Probabilidades Teóricas (Panjer):"
print(probas_teo)
##          0          1          2 
## 0.04978707 0.09957414 0.14936121
# 2. Simulación Muestral (Monte Carlo)
set.seed(123)
n_sim <- 1000000  

rY <- function(n) {
  sample(x = 1:2, size = n, replace = TRUE, prob = c(2/3, 1/3))
}

S_sim <- actuar::rcompound(n = n_sim,
                           model.freq = rpois(lambda = lambda),
                           model.sev = rY())

prob_muestrales <- prop.table(table(S_sim))[1:3]
print("Probabilidades Simuladas (Monte Carlo):")
## [1] "Probabilidades Simuladas (Monte Carlo):"
print(prob_muestrales)
## S_sim
##        0        1        2 
## 0.049942 0.099998 0.149501

4.3 Visualización de Resultados

Conforme a la Ley de los Grandes Números, las probabilidades empíricas convergen a las probabilidades teóricas generadas por el modelo recursivo. A continuación, se ilustra la precisión del modelo:

Conclusión: La convergencia es evidente. Esto nos permite interpretar con alto grado de certidumbre que es más probable que la pérdida total de la compañía sea de 2 unidades monetarias (~14.93%) a que sea de 1 unidad monetaria (~9.95%).